수치해석(9) Matrix Inverse and Condition

 

 

1. Matrix Inverse

 

matrix [A]가 정방행렬이고, [A]'가 존재한다. 그런 경우, [A]' [A] = [A] [A]' = [I] 가 성립한다. 

 

 

LU factorization이 여러 개의 우변 벡터(multiple right-hand-side vectors)에 대해 효율적이다. 따라서 LU factorization은 inverse 계산에도 이상적이다. 

 

 

(1) Example

[A]의 inverse를 구하라. 

 

matrix A

A를 통해 구한 matrix U, L

 

역행렬의 1열은 (1행의 값이 1인) 단위 벡터와 forward-suvstitution을 통해 구할 수 있다. 이를 통해 {d}를 구하고, {d}^T를 사용하여 역행렬의 1열을 구하면 된다. 

 

 

역행렬의 2열을 구하기 위해선, 아래의 공식을 사용하고 같은 순서로 {x}를 구하면 된다. 

 

 

역행렬을 1열, 2열, 3열... 순서대로 하나의 열 씩 구하면 아래와 같이 채워진다.

 

1열 기준으로 계산 수행한 결과

2열 기준으로 수행한 결과

3열 기준으로 수행한 결과

 

 

2. Vector and Matrix Norms

 

norm은 벡터와 행렬과 같은 multi-component mathematical entities의 크기 또는 '길이' 에 대한 측정값을 제공하는 real-valued function이다. Vector norms와 matrix norms는 다르게 계산된다. 

 

(1) Vector norms

n size를 갖는 column vector {X}의 p-norm이다. 참고로 X는 vector를, ||X||는 verctor의 length를 의미한다. 

 

 

p = 2인 경우의 2-norm을 가장 많이 사용하며, 그 외에도 p = 1, p = ∞의 norm이 자주 사용된다. 

 

 

우리가 잘 아는, vector의 길이는 2-norm = e-norm이다. 

 

 

(2) Matrix norms

vector norm에 비해 흔하게 쓰이진 않지만, Euclidean norm이라 불리는 Frobenius norm을 자주 사용한다. 

 

 

(3) MATLAB Commands

매트랩은 norms, condition numbers를 계산하는 built-in function이 내장되어 있다. 

 

norm(X, p)
#% Comput the p norm of vector X
#% p can be any number, inf or 'fro' -> 그리고 Euclidean norm이다. 

norm(A, p)
#% Comput the p norm of matrix A
#% p can be 1, 2, inf or 'fro' -> 그리고 Frobenius norm이다.

 

 

 

<요약>

-> 정방행렬의 inverse를 LU분해로 풀 수 있다. 

-> matrix norm보다는 vector norm을 더 많이 사용한다.