수치해석 썸네일형 리스트형 수치해석(14) Splines and Piecewise Interpolation 1. Splines 주어진 데이터 포인트들을 통해 부드러운 곡선을 생성하는 방법이다. 함수나 곡선의 근사치를 구하거나, 주어진 데이터를 부드럽게 연결하는 데 사용된다. 보통 여러 개의 다항식 조각들로 이루어져 있으며, 각 조각은 인접한 데이터 포인트들을 연결하고 부드럽게 이어져야 한다. n개의 점 사이를 interpolation(보간)하기 위해 단일 (n-1)차 다항식을 사용하는 대안적인 접근법은 데이터 포인트의 부분 집합에 부분적인 방식으로 하위 다항식을 적용하는 것이다. 이러한 연결 다항식을 spline functi-on(스플라인 함수)라고 한다. 스플라인은 저차 특성으로 인해 진동을 최소화하고, roundoff error를 줄인다. 스플라인은 모든 점이 아닌, 간격마다 존재하는 점의 하위 집합을 사.. 더보기 수치해석(13) Polynomial Interpolation interpolation, 보간법이란 이산적으로 띄엄띄엄 주어진 데이터들을 적절한 곡선으로 이어서, 주어지지 않은 데이터 값을 가상으로 만들어주는 작업이다. 주어진 데이터를 모두 지나는 '근사 함수'를 구한다고 보자. 1. Polynomial Interpolation (1) Polynomial interpolation 정확한 데이터 지점 간의 중간 값을 추정하는 경우가 자주 발생한다. interpolate(보간)에 사용하는 함수는 실제 데이터 점을 통과해야 하므로 interpolation은 fitting보다 좀 더 제한적인 알고리즘이다. 가장 일반적인 방법은 n개의 데이터 포인트를 통과하는 (n-1)차 다항식을 해결하는 방법이다. Polynomial interpolation(다항식 보간)은 데이터 포인트.. 더보기 수치해석(11) Eigenvalue 1. Linear algebra and Eigenvalue [ A ] { x } = { b }를 [1] heterogeneous system이라 하고, [ A ] { x } = 0 을 [2] homogeneous system라 한다. homogeneous system은 A의 inverse 가능 여부에 관계 없이, 항상 원점을 통과하는 solution을 가진다. 즉, A의 inverse가 존재하든 말든 Ax = 0은 해를 가진다. 위와 같은 homogeneous system이 존재한다 하였을 때, matrix form으로 나타내면 [[𝐴] − 𝜆[𝐼]] {𝑥} = 0 이다. 이런 경우에, det([𝐴] − 𝜆[𝐼]) = 0 를 성립하게 하는 𝜆의 값을 eigenvalue라고 한다. eigenvalue와 e.. 더보기 수치해석(9) Matrix Inverse and Condition 1. Matrix Inverse matrix [A]가 정방행렬이고, [A]'가 존재한다. 그런 경우, [A]' [A] = [A] [A]' = [I] 가 성립한다. LU factorization이 여러 개의 우변 벡터(multiple right-hand-side vectors)에 대해 효율적이다. 따라서 LU factorization은 inverse 계산에도 이상적이다. (1) Example [A]의 inverse를 구하라. 역행렬의 1열은 (1행의 값이 1인) 단위 벡터와 forward-suvstitution을 통해 구할 수 있다. 이를 통해 {d}를 구하고, {d}T를 사용하여 역행렬의 1열을 구하면 된다. 역행렬의 2열을 구하기 위해선, 아래의 공식을 사용하고 같은 순서로 {x}를 구하면 된다. 역행.. 더보기 수치해석(7) Linear Algebraic Equations and Matrices 1. Special Matrices m = n인 행렬을 정방행렬이라고 한다. 아래는 또다른 다양한 종류의 행렬들이다. 2. Matrix Operations (1) Matrix Multiplication 차원별로 각각 곱해서 더하고 ~~ 하면 된다. (2) Matrix Inverse and Transpose Matrix Inverse는 y = Ax에서 행렬 A가 [1] square matrix면서 [2] nonsingular이어야 한다. 매트랩에선 inv(A)를 사용한다. 다음으로 Matrix Transpose는 mxn이 nxm이 되는 것으로, 매트랩에선 A'라고 표현한다. 3. Representing Linear Algebra 매트랩은 다음의 방정식들을 행렬로 표현한다. 참고로 algebraic eqau.. 더보기 수치해석(5) Roots: Open Methods 1. Open Methods Open Methods는 [1] 하나의 시작값 또는 [2] 루트를 브라켓화할 필요가 없는 두 개의 시작값만을 요구한다. 계산이 진행됨에 따라 발산할 수 있지만, 수렴할 때 보통 Bracket Methods보다 훨씬 더 빠르게 수행된다. (1) Simple Fixed-Point Iteration Simple Fixed-Point Iteration Methods의 순서는 다음과 같다. [1] x가 식의 왼쪽에 있도록 함수 f(x) = 0을 재배열한다. [2] x = g(x)로 두고, 새로운 함수 g를 사용하여 x의 새로운 값인 xi+1 = g(xi)를 예측한다. 대략화된 오류 식은 아래와 같다. 예제를 풀어보겠다. 엄청 간단하다. f(x) = 0으로 두고, 좌변에 x만을 남기면 .. 더보기 수치해석(4) Roots: Bracketing Methods 1. How to find Roots (1) Roots "Roots" 문제는 어떤 함수 f()가 하나 이상의 종속 변수 x의 term으로 쓰여질 때 발생한다. f(x) = 0의 해다. (2) Graphical Methods 식 f(x) = 0의 근 추정치를 구하는 간단한 방법은 함수를 그리고, x축과 교차하는 위치를 관찰하는 Graphical Methods다. 함수를 그래프로 그리면 루트가 어디에 있는지, 그리고 루트 찾기 방법 중 일부가 실패한 위치임을 알 수 있다. 일부 예외 상황도 있을 수 있는데, [1] 함수가 x축에 접선일 때 발생하는 다중근, 끝점은 반대 부호이고 짝수 개의 축 절편이 있다. [2] 반대 부호의 끝점이 짝수 개의 근을 괄호로 묶는 불연속 함수가 있다. 2. Brackeint M.. 더보기 수치해석(3) Roundoff and Truncation Errors 1. Error (1) Sources of Solution Error 컴퓨터로 수치 모델 문제를 풀 땐 유한한 차이로 속도의 도함수를 근사해야 한다. solution은 정확하지 않다. 즉, 오류가 발생한다. 컴퓨터는 디지털 기기이기 때문에, 숫자 크기와 정밀도를 나타내는 능력에 한계가 있다. (2) Accuracy and Precision 계산 및 측정과 관련된 오류는 정확도 및 정밀도와 관련하여 특성화할 수 있다. [1] 정확도(Accuracy)는 계산된 값 또는 측정된 값이 실제 값과 얼마나 밀접하게 일치하는지를 의미한다. [2] 정밀도(Precision)는 계산된 값 또는 측정된 값들끼리 서로 얼마나 밀접하게 일치하는지를 의미한다. Predicted conditon Predicted conditio.. 더보기 이전 1 2 다음
