KNU_study/수치해석 썸네일형 리스트형 수치해석(14) Splines and Piecewise Interpolation 1. Splines 주어진 데이터 포인트들을 통해 부드러운 곡선을 생성하는 방법이다. 함수나 곡선의 근사치를 구하거나, 주어진 데이터를 부드럽게 연결하는 데 사용된다. 보통 여러 개의 다항식 조각들로 이루어져 있으며, 각 조각은 인접한 데이터 포인트들을 연결하고 부드럽게 이어져야 한다. n개의 점 사이를 interpolation(보간)하기 위해 단일 (n-1)차 다항식을 사용하는 대안적인 접근법은 데이터 포인트의 부분 집합에 부분적인 방식으로 하위 다항식을 적용하는 것이다. 이러한 연결 다항식을 spline functi-on(스플라인 함수)라고 한다. 스플라인은 저차 특성으로 인해 진동을 최소화하고, roundoff error를 줄인다. 스플라인은 모든 점이 아닌, 간격마다 존재하는 점의 하위 집합을 사.. 더보기 수치해석(13) Polynomial Interpolation interpolation, 보간법이란 이산적으로 띄엄띄엄 주어진 데이터들을 적절한 곡선으로 이어서, 주어지지 않은 데이터 값을 가상으로 만들어주는 작업이다. 주어진 데이터를 모두 지나는 '근사 함수'를 구한다고 보자. 1. Polynomial Interpolation (1) Polynomial interpolation 정확한 데이터 지점 간의 중간 값을 추정하는 경우가 자주 발생한다. interpolate(보간)에 사용하는 함수는 실제 데이터 점을 통과해야 하므로 interpolation은 fitting보다 좀 더 제한적인 알고리즘이다. 가장 일반적인 방법은 n개의 데이터 포인트를 통과하는 (n-1)차 다항식을 해결하는 방법이다. Polynomial interpolation(다항식 보간)은 데이터 포인트.. 더보기 수치해석(12) Linear Regression 1. Curve fitting 데이터는 discrete value(이산값)으로 보통 주어진다. 그런데, 이산값 사이의 점에서 estimates(추정치)가 필요하다. 또한 복잡한 기능의 단순화된 버전이 필요하다. 이러한 응용은 Curve fitting에 의해 수행된다. Curve fitting에 대한 2가지 일반적인 접근법이 존재한다. [1] 데이터가 상당한 오차를 가지는, 데이터의 일반적인 추세를 나타내는 단일 곡선을 도출하는 것이다. [2] 데이터를 매우 정확히 사용하여 각 점을 직접 통과하는 곡선 또는 일련의 곡선을 맞춘다. 아래 그림으로 이해하자. 2. Linear Regression Curve fitting의 간단한 번지점프 예시를 들어보자. 번지점프와 같이 자유낙하하는 물체는 공기저항의 상승력을.. 더보기 수치해석(11) Eigenvalue 1. Linear algebra and Eigenvalue [ A ] { x } = { b }를 [1] heterogeneous system이라 하고, [ A ] { x } = 0 을 [2] homogeneous system라 한다. homogeneous system은 A의 inverse 가능 여부에 관계 없이, 항상 원점을 통과하는 solution을 가진다. 즉, A의 inverse가 존재하든 말든 Ax = 0은 해를 가진다. 위와 같은 homogeneous system이 존재한다 하였을 때, matrix form으로 나타내면 [[𝐴] − 𝜆[𝐼]] {𝑥} = 0 이다. 이런 경우에, det([𝐴] − 𝜆[𝐼]) = 0 를 성립하게 하는 𝜆의 값을 eigenvalue라고 한다. eigenvalue와 e.. 더보기 수치해석(10) Iterative Method(To solve linear system and non-linear system) 1. Iterative Method 반복적 방법이란 선형시스템 Ax = b의 해를 Gauss elimination과 같이 한 번 만에 구하는 것이 아닌, 반복ㅈ거인 방법으로 초기해(solution) ... 최종해를 구하는 방법이다. 왜 갑자기 반복적 방법(Iterative method)을 배우나? 비선형 시스템에서는 해(solution)를 한번에 구하는 수치해석적 방법이 없다. 그래서, 비선형 시스템에서는 반복적 방법을 반드시 사용해야 한다. 특히 자주 나온 Newton-Raphson 방법 등이 중요하다. (1) Gauss-Seidal Method Gauss-Seidal Method는 선형대수 방정식 [A]{x} = {b}를 풀 때 가장 많이 사용되는 방식이다. 이는 특정 변수에 대한 시스템에서 각 방정.. 더보기 수치해석(9) Matrix Inverse and Condition 1. Matrix Inverse matrix [A]가 정방행렬이고, [A]'가 존재한다. 그런 경우, [A]' [A] = [A] [A]' = [I] 가 성립한다. LU factorization이 여러 개의 우변 벡터(multiple right-hand-side vectors)에 대해 효율적이다. 따라서 LU factorization은 inverse 계산에도 이상적이다. (1) Example [A]의 inverse를 구하라. 역행렬의 1열은 (1행의 값이 1인) 단위 벡터와 forward-suvstitution을 통해 구할 수 있다. 이를 통해 {d}를 구하고, {d}T를 사용하여 역행렬의 1열을 구하면 된다. 역행렬의 2열을 구하기 위해선, 아래의 공식을 사용하고 같은 순서로 {x}를 구하면 된다. 역행.. 더보기 수치해석(8) Gauss Elimination & LU Factorization 1. Gauss Elimination Ax=b를 풀 것이다. 푸는 방법은 두 가지, [1] x = A\b로 풀거나 [2] x = inv(A)*b로 푸는 것이다. 두 번째의 경우, 행렬 A는 정방행렬이면서도 nonsingular를 만족해야 한다. (1) Graphical method (a)의 경우 no solution이고, (b)의 경우 무한한 해가 존재하며 (c)의 경우 roundoff error와 같은 ill-conditioned 상태다. (2) Determinants D = |A|는 nxn 행렬에 따라 아래와 같은 공식으로 풀면 된다. (3) Cramer's Rule 선형대수 방정식 체계에서 알려지지 않은 각각은 미지수 계수의 열을 상수 b1, b2, ... bn으로 대체함으로써 분모 D와 D에서 얻.. 더보기 수치해석(7) Linear Algebraic Equations and Matrices 1. Special Matrices m = n인 행렬을 정방행렬이라고 한다. 아래는 또다른 다양한 종류의 행렬들이다. 2. Matrix Operations (1) Matrix Multiplication 차원별로 각각 곱해서 더하고 ~~ 하면 된다. (2) Matrix Inverse and Transpose Matrix Inverse는 y = Ax에서 행렬 A가 [1] square matrix면서 [2] nonsingular이어야 한다. 매트랩에선 inv(A)를 사용한다. 다음으로 Matrix Transpose는 mxn이 nxm이 되는 것으로, 매트랩에선 A'라고 표현한다. 3. Representing Linear Algebra 매트랩은 다음의 방정식들을 행렬로 표현한다. 참고로 algebraic eqau.. 더보기 이전 1 2 다음
