수치해석(11) Eigenvalue

 

 

1. Linear algebra and Eigenvalue

 

 

[ A ] { x } = { b }를 [1] heterogeneous system이라 하고, [ A ] { x } = 0 을 [2] homogeneous system라 한다. homogeneous system은 A의 inverse 가능 여부에 관계 없이, 항상 원점을 통과하는 solution을 가진다. 즉, A의 inverse가 존재하든 말든 Ax = 0은 해를 가진다. 

 

 

위와 같은 homogeneous system이 존재한다 하였을 때, matrix form으로 나타내면  [[𝐴] − 𝜆[𝐼]] {𝑥} = 0 이다. 이런 경우에, det([𝐴] − 𝜆[𝐼]) = 0 를 성립하게 하는 𝜆의 값을 eigenvalue라고 한다. eigenvalue와 eigenvector는 시스템의 고유한 특성이다. 

 

(1) 예제 1

13.1 풀기 ~~

 

 

(2) 예제 2

두번째 예제를 풀자. 13.2 풀기 ~~

 

 

내용

 

(3) Solution : The Polynomial Method

 

 

위와 같은 식이 있을 때, determinant를 계산하면 아래와 같다. 

 

 

이 characteristic polynomial(특성 다항식)의 두 근은 시스템의 eigenvalue다. 

 

 

𝜔를 통해 T_p를 구하면 각각 1.62s, 2.81s가 나온다. 또한 (a) 𝜔² = 15일 때와 (b) 𝜔² = 5일 때 X는 열벡터 값이 나옴을 알 수 있다. 이를 그림으로 표현하면 아래와 같다. 

 

 

 

2. MATLAB code

 

(1) The power Method

Power method란 가장 큰 고유값을 계산하는 반복적인 방법이다. 

 

 

간단한 알고리즘은 아래와 같다. 

 

function [eval, evect] = powereig(A,es,maxit)
n=length(A);
evect=ones(n,1);eval=1;iter=0;ea=100; 		#% initialize
while(1)
	evalold=eval; 				#% save old eigenvalue value
	evect=A*evect; 				#% determine eigenvector as [A]*{x)
	eval=max(abs(evect)); 			#% determine new eigenvalue
	evect=evect./eval;			#% normalize eigenvector to eigenvalue
	iter=iter+1;
	if eval~=0, ea = abs((eval-evalold)/eval)*100; end
	if ea<=es | iter >= maxit,break,end
end

 

(2) eigenvalue

 

A = [10 -5; -5; 10]
[v, lambda] = eig(A)

 

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