자동제어(3-3) state-space equation

 

 

모델

 

1. ordinary differential equation  -> Laplace transform -> transform function

2. signal flow [전달함수를 좀 더 쉽게 구하기 위해서]

3. 상태 방정식

 

 

State space equation

 

수학에서 space란, 집합으로 생각하면 된다. 

즉, '상태'라는 집합을 정의해서 거기다가 equation을 해석한다. 

전달함수 형태의 미분 방정식 -> 시간 영역에서 풀어보자. 

 

움직이는 물체를 다룬다. -> 움직이는 물체는 미분 방정식으로 표현된다. ->

시간 영역이 다루기 어렵기에 라플라스 변환(주파수 영역)으로 풀곤 했다. -> 컴퓨터 연산은 시간 영역에서 가능.

** 비선형은 라플라스 변환이 불가능. -> time domain이 용이할 때가 많다. 

** 고차 미분방정식은 시간으로 어떻게 표현하는가

 

 

dynamic system : 미분 방정식으로 표현되는 상태들의 결합

x(t) : dynamic system의 상태 변수, [초기 조건]과 [input]에 영향을 받는다. 

-> x(t)가 배열로 표현되는데, 그 중에 관심있는 부분을 출력으로 뽑아낸다. 

 

 

예제 : A spring-mass-damper system

 

 

2차 미분 방정식 형태로 표현된다. 

위치, 속도를 각각 x1, x2로 잡고 상태 방정식을 푼다. 

 

 

예제 : RLC 회로

 

 

** 전압이 시간에 대해서 변할 때 전류가 흐른다. 

** 출력 : Vo, 즉 R에 걸리는 전압

 

 

State differential equation

 

 

x : state vector, state가 모여진 배열이다. 각 상태를 배열로 표현한 vector.

 

참고로 6번째줄 적분식에 e의 지수에서 -A가 아니라 +A!!

 

** simple하게 u=0으로 두면, [단순한 곱셈]의 법칙이 성립함을 알 수 있다. 

즉 transition matrix를 가지고 vector 연산을 시행하면 해를 찾을 수 있다. (=상태 방정식의 해의 의미)

** system에서 상태를 정할 때, 한 개의 상태로 고정되어 나오지 않는다. 

 

 

SFG를 이용하여 상태방정식 찾기

 

이 미분방정식을 이용하여 SFG를 그릴 수 있다. 

(참고로 SFG는 node와 graph로 되어 있다.)

 

state equation -> signal flow -> 전달함수, 3개의 모델을 등가적으로 구할 수 있다. 

 

 

또 반대로 전달함수를 가지고 signal flow를 나타낼 수도 있다. 

** 일반적으로 상태는 [적분](1/s)으로 표현해야지 전달함수 또는 s의 미분으로 표현하기 쉽다. 

 

 

Derivation of the signal-flow graph state model

 

 

(1) 분모, 분자를 최고차항의 계수로 나눈다. 

 

(2) 4차식이므로 4개의 상태가 있어야 한다. 그러므로 node를 8개 그려두자.

 

 

(3) 상태가 8개면 복잡해지니까 4개로 줄여서 사용한다. 

 

 

 

A model of dc motor

 

 

x1 = y(t) : the velocity output

x2 = i(t) : the field current

x3 = u(t) : the filed voltage

 

 

Evaluation of the state transition matrix

 

(1) 상태 방정식으로 풀기

 

(2) Signal flow graph model로 풀기

 

** output과 input은 지워진다.