수치해석(2) MATLAB 실습

 

 

1. MATLAB Fundamentals 

 

(1) Scalars

 

 

[1] 변수 이름은 문자로 시작해야 한다. 문자, 숫자나 밑줄(_) 기호를 포함 가능하다. [2] 세미콜론을 붙이면 주석 처리가 된다. 또한 저장해둔 변수를 report할 수 있다. [3] 복소수 변수는 i 또는 j를 사용하여 나타낼 수 있다. [4] format 명령을 사용하여 MATLAB에 여러가지 다른 형식으로 값을 보고하게 할 수 있다. short(5자리 고정), long(15자리 고정), short eng(5자리 이상의 숫자와 파워 있음) 

 

 

(2) Arrays, Vectors, and Matrices

매트랩은 데이터의 직사각형 배열을 자동으로 처리할 수 있다. 1차원 배열은 벡터, 2차원 배열은 행렬이다. [1] 매트랩은 대괄호 '[ ]'를 사용하여 배열을 해제한다. [2] 행 내의 항목은 공백 또는 쉼표로 구분된다. [3] 행은 세미콜론으로 구분된다. 

 

 

데이터의 2-D 배열 또는 행렬은 행 단위로 입력되며, 행 내에서 공백(또는 쉼표)이 항목을 구분하고, 세미콜론이 행을 구분한다. 

 

 

유용한 Array 명령어 중 transpose operator를 사용하여 배열을 대각선 위로 뒤집을 수 있다. 예를 들어 b가 만약 행 벡터라면, b'는 (b의 복소수 켤레를 포함하는) 열 벡터이다. 또한 who 명령은 사용된 변수 이름을 다시 보고한다. 

 

 

array 내 개별 항목은 위치 인덱스 또는 행과 열을 사용하여 읽고 설정할 수 있다. 인덱스 값은 배열의 왼쪽 상단 모서리에 있는 항목에 대해 1로 시작, 즉 1행 1열로 시작하여 열 아래로 증가한다. C언어에서 array [3][4]는 4행 5열을 의미하지만, 매트랩에서 array [3][4]는 3행 4열을 의미한다. 인덱스 순서는 아래와 같이 진행된다. 

 

 

array를 생성하는 데는 다음과 같은 built in 기능이 내장되어 있다. 

 

zeros(r, c)	0으로 가득 찬 r행 c열을 생성한다.
zeros(n)	0으로 가득 찬 n by n 행렬을 생성한다.
ones(r, c)	1로 가득 찬 r행 c열을 생성한다.
ones(n)	1로 가득 찬 n by n 행렬을 생성한다.
help elmat	기본 행렬, 배열 정보, 행렬 조작 등을 제공한다.

 

array 생성 시 colon operator ':'는 여러 맥락에서 유용하다. 표기법을 사용하여 점들의 선형 간격 배열을 만드는 데 사용할 수 있다. start : diffval : limit의 문법으로 구성되며 start는 배열의 첫 번째 값이고, diffval은 배열의 연속적인 값 사이의 차이며, limit는 마지막 값의 경계이다.

[1] 만약 diffval을 빠뜨렸다면, 디폴트 값인 '1'의 간격으로 결과가 나온다. [2] 감소하는 결과를 원한다면 diffval을 음수로 지정하면 된다. [3] 증가하는 경우 start + diffval > limit라면, 혹은 감소하는 경우 start + diffval < limit라면, 빈 행렬이 반환된다. [4] 열을 만들려면, limit 값에만 전치를 취하는 것이 아니라 입력 전체에 전치를 취한다. 3:6' 이 아니라 (3:6)' 이 맞다. 

 

 

array 생성 시 linspace 명령은 두 숫자 사이의 특정 개수의 선형 간격 점을 갖는 행 벡터를 만들어준다. linspace(x1, x2, n)는 x1과 x2 사이에 n개의 점으로 이루어진 선형 이격 배열을 만든다. n을 생략하면, 100개의 점을 생성한다. 열을 생성하기 위해선 linspace의 출력을 전치하면 된다. 

 

 

array 생성 시 logspace 명령은 두 숫자 사이의, 특정한 대수적으로 이격된 점 수를 갖는 행 벡터를 만들어준다. 이게 무슨 소리냐.. logspace(x1, x2, n)은 10^x1과 10^x2 사이의 n개의 점으로 이루어진 대수적으로 이격된 배열을 만든다. 역시 n을 생략하면 100개의 점이 생성되고, 열을 생성하기 위해선 linspace의 출력을 전치하면 된다. 

 

 

(3) Character Functions

[1] 영숫자 상수는 아포스트로피 ' 로 둘러싸여 있다. [2] 문자열 합치기가 가능하다. [3] 긴 줄을 이어갈 때는 Ellipsis(...)을 사용한다. [4] 문자열에서 Ellipsis(...)를 사용하면 생략과 이어감은 불가능하지만 분할이 가능하다. 

 

Function	Description
n = length(s)	문자열 s의 개수
b = strcmp(s1, s2)	문자열 s1, s2가 동일한 지 비교한다.
n = str2num(s)	문자열 s를 숫자 n으로 변환한다.
s = num2str(n)	숫자 n을 문자열 s로 변환한다.
s2 = strrep(s1, c1, c2)	문자열 안의 character를 다른 character로 변환한다.
i = strfind(s1, s2)	문자열 s1에서 문자열 s2가 발생할 경우 시작 인덱스 반환.
S = upper(s)	문자열을 대문자로 반환한다.
s = lower(s)	문자열을 소문자로 반환한다.

 

(4) Mathematical Operations

매트랩의 수학적 연산은 스칼라, array 모두에서 수행할 수 있다. 

 

^	Exponentiation	4 ^ 2 = 16
-	Negation(unary operation)	-8 = -8
*, /	Multiplication and Divison	2 * pi = 6.2832, pi/4 = 0.7854
\	Left Divison	6 \ 2 = 0.3333
+, -	Addition and Subtraction	3 + 5 = 8, 3 -5 = -2

 

(5) Complex Numbers

위의 모든 연산은 복잡한 양(즉 i  또는 j를 이용하여 입력하고, i를 이용하여 표시하는 허수 부분 포함한 값들)과 함께 사용할 수 있다. 

 

 

(6) Plotting Options

아래 Plotting 예제들을 따라하며~ 매트랩 공부를 해보자. (오류는 눈 감아주자)

 

 

데이터를 플롯할 때 여러 가지 색상, 점 스타일 및 선 스타일을 사용할 수 있다. 이들은 플롯 지정자를 사용하여 플롯 명령의 끝에 지정된다. [1] 만약 'ro'라면 점에 원이 있는 빨간색 점선이, [2] 'gd'라면 선이 없는 점의 녹색 다이아몬드가, [3] 'm--'이면 점 기호가 없는 마젠타 점선일 것이다. 

 

 

플롯 관련 추가적인 명령어들을 설명하겠다. [1] hold on은 매트랩에게 현재 데이터를 플롯한 상태로 유지하고, 추가 플롯 명령의 결과를 그래프에 추가하도록 지시한다. 시리즈의 첫 번째 플롯을 만든 후에 사용해야 한다. [2] hold off 명령 전까지 [1]의 명령은 진행된다. [3] subplot(m, n, p)는 그림 창을 작은 축의 mxn 배열로 분할하고 p번째 축을 활성화한다. 첫 번째 subplot이 왼쪽 상단에 있고, 그런 다음 번호가 행 전체에 걸쳐 계속 표시된다. 

 

(7) 그 외 다양한 것들 

Vector-Matrix Calculations : 벡터와 행렬에 대한 연산도 수행할 수 있다. [1] 첫 번째 행렬의 열 수는 두 번째 행렬의 행 수와 일치해야 한다. [2] 행렬의 ^연산자는 행렬에 지정된 횟수만큼 곱해지는 결과를 가져온다. 이 경우 행렬은 정사각형이어야 한다. 

Element-by-Element Calculations : 벡터와 행렬에서 항목별로 계산을 수행할 때, 어레이 작업(array operations)을 호출한다. 이러한 작업을 요소별 작업이라고도 한다. [1] 매트랩은 배열 곱셈 및 배열 분할 연산자로 .* 및 ./를 정의한다. [2] 배열 작업의 경우 두 행렬의 크기가 동일하거나, 두 행렬 중 하나가 1x1이어야 한다. [3] 배열 지수화는 .^로 수행된다. 각 원소를 지수화하면 된다. 

Built-In functions : 데이터를 생성하고 조작하는 데 사용할 수 있는 몇 가지 기본 기능이 있다. [1] built-in help 함수는 존재하는 기능과 해당 기능의 사용 방법에 대한 정보를 제공한다. help elmat는 행렬에 대한 정보를 얻기 위한 함수를 포함하여 기본 행렬 생성 및 조작 함수를 나열한다. help elfun은 trig, 지수, 복소수, 반올림 그리고 나머지 함수를 포함한 기초 수학 함수들을 나열한다. [2] 내장된 look for 명령어는 도움말 파일에서 텍스트가 발생하는지 검색하며 기능의 목적은 알고 있지만, 이름은 모르는 경우 유용할 수 있다. 

Graphics : 매트랩에는 강력한 그래픽 기능이 내장되어 있다. [1] 2개의 기본함수는 plot(2D 데이터 표시), plot3(3D 데이터 표시)이다. [2] 플롯 명령 외에도 제목, xlabel, ylabel 및 범례 명령을 사용하여 그래프에 레이블을 지정하고 주석을 달 수 있다. 

 

 

2. Programming with MATLAB

 

(1) M-Files

명령 창에 직접 명령을 입력하는 방법 외에도 M-file이라는 텍스트 파일에 명령을 넣을 수 있다. M-file은 .m 확장자로 저장되기 때문에 이렇게 이름이 붙여진다. 크게 두 가지 종류가 있는데, [1] Script files는 단순히 매트랩 명령어의 집합이며 명령 창에 .m을 제외한 파일 이름을 입력하거나 편집 창에서 Run 또는 F5 키를 눌러 실행할 수 있다. [2] Function files는 입력 인수(input arguments)를 허용하고, 명령창에 출력을 반환한다. 또한 해당 함수 내에서 생성 및 조작되는 변수는 명령 창에 영향을 주진 않는다. Function file의 문법을 알아보자. 일반적인 함수의 문법은 아래와 같다. 

 

function outvar = funcname(arglist)
%helpcomments
statements
outvar=value;

outvar	출력 변수의 이름
funcname	함수의 이름
arglist	입력 인수 목록,
helpcomments	설명문 주석
statements	함수의 매트랩 명령

 

Function M-file은 한 개 이상의 결과를 출력할 수 있다. 

 

 

Function file은 하나의 함수를 포함할 수 있지만, 또한 하나의 함수를 더 포함할 수도 있다. 주요 함수는 M-file에서 가장 먼저 나열된 함수이다. 물론 주요 함수의 이름은 파일 이름과 같아야 한다. Subfunctions는 주요 함수 아래에 나열된다. 이들은 동일한 M-file 내의 주요 함수 혹은 Subfunctions에 의해서만 액세스할 수 있으며, 명령 창에선 액세스할 수 없다. 

 

 

(2) Input and Output

[1] Input은 사용자로부터 값을 얻는 가장 쉬운 방법으로, n = input('promptstring') 의 명령이다. 매트랩은 명령 창에 'promptstring'을 표시하고, 입력된 값은 n에 저장된다. 예를 들어 pi를 입력하면 n = 3.1416...이 된다. n = input('promptstring', 's') 의 명령은 명령 창에 'promptstring'을 표시하고, 입력된 문자열을 n에 저장한다. 예를 들어 pi를 입력하면 n은 'p'와 'i'를 2x1 문자 배열로 저장한다. [2] Output은 행렬의 값을 표시하는 가장 쉬운 방법으로, disp(value) 의 명령이다. 만약 값이 문자열이면 작은 따옴표로 묶여 출력된다. 

 

 

Formatted output, 즉 형식이 지정된 출력의 경우 fprintf('format', x, y, ...) 의 명령을 사용한다. 여기서 'format'은 변수 x, y 등의 값을 표시하는 방법을 지정한다. 또한 값과 함께 인쇄할 문자 텍스트를 포함한다. 변수의 값은 format code에 따라 형식이 지정된다. 

 

%d	interger format
%e	scientific format with lowercase e
%E	scientific format with uppercase E
%f	decimal format
%g	the more compact of %e or %f

 

\n	start a new line
\t	tab
\\	print the \ character

 

 

(3) Creating and Accessing Files

매트랩에는 값을 변수에 저장하고, 로드하는 데 사용할 수 있는 파일 형식이 내장되어 있다. [1] save filename var1 var2 ... varn 는 filenamve.mat라는 이름의 파일에 변수를 입력한다. 변수가 나열되지 않았다면, 모든 변수가 저장될 것이다. [2] load filename var1 var2 ... varn 는 filename.mat이라는 파일에서 나열된 변수를 로드한다. 변수가 나열되지 않았다면, 모든 변수가 로드될 것이다. 이들은 모두 텍스트 파일이 아니다.

 

왜 하라는 것과 내 실행 화면이 다른진 모르겠지만.. 그렇다..

 

(4) ASCII files, Operators

사용자가 읽을 수 있는 파일을 생성하기 위해선, -ascii 플래그를 저장 명령 끝에 달아야 한다. 이것은 disp 명령어와 동일하게, 데이터를 txt파일에 저장할0 것이다. 이러한 경우, 매트랩은 파일 이름에 아무것도 추가하지 않으므로 txt 혹은 dat 파일과 같은 확장을 추가할 수 있다. 또한 텍스트 파일에서 직사각형 배열을 로드하려면 load 명령어와 파일 이름을 사용하면 된다. 

-> 나중에 복습 다시 하기

 

아래는 우리가 몹시 잘 아는 Operator들이다. 이들은 우선순위가 있긴 하지만, 괄호를 이용하여 우선순위를 설정할 수 있다. 물론 기본 순위는 수학식, 관계형 연산자, 논리형 연산자 순서다. 논리형 연산자 중에선 Not, And, Or 순서로 순위가 이어진다. 예를 들어 x=5가 3보다 크고 4보다 작은 것을 비교할 때 3<x<4라고 비교하지 말고, (3<x)&(x<4)를 사용하여 적절하게 평가하자. 

 

Example	Operator	Relationship
x == 0	==	Equal
unit ~= 'm'	~=	Not equal
a < 0	<	Less than
s > t	>	Greater than
3.9 <= a/3	<=	Less than or equal to
r >= 0	>=	Greater than or equatl to

 

Example	Operator	Relationship
~A	~	true if A is false, false otherwise
A & B	&	true if borh A and B are true (or non-zero)
A | B	|	true if either A or B are true (or non-zero)

 

 

(5) Programming structure

매트랩은 구조화된 프로그래밍을 통해 프로그램의 조건에 따라 결정 및 선택을 할 수 있다. if문과 switch문을 배워보자. [1] Decision은 if 구조를 사용하여 매트랩에서 내려지는데 if 구조에는 여러 개의 elseif문과 else가 포함된다. 이러한 분기 실행은 참 또는 거짓인 조건의 결과에 따라 결정된다. 참고로 조건이 행렬인 경우, 모든 항목이 참(또는 0이 아닌)인 경우에만 참으로 간주한다. [2] Selection은 선택을 수행하며 otherwise 선택을 포함한다. test expression이 스위치문의 연결된 값과 일치하면 해당 스위치의 분기가 실행된다. 

 

 

또 다른 프로그래밍 구조는 동일한 라인의 코드가 여러 번 실행되는 Loops를 포함한다. 루프에는 두가지 유형이 있는데 [1] for loop는 인덱스 변수에 주어진 열의 개수로 설정된, 지정된 반복 횟수 후에 끝난다. 문법은 for index = start:step:finish \n statements \n end, 총 3줄이다. 

 

for Loops

 

[2] while loop는 논리적 조건에 따라 종료된다. 관련 문법을 하기 전, 때로는 요소별로 배열 요소를 처리하기 보다 매트랩이 전체 배열에 대한 계산을 수행하도록 하는 것이 더 효율적일 수 있다. 즉, Vectorization하자. 

 

for loop	Vectorization
i = 0; for t = 0:0.02:50    i = i + 1;    y(i) = cos(t); end	t = 0:0.02:50; y = cos(t);

 

위엔 그냥 참고 사항이고, While loop는 불확정한 횟수만큼 실행되므로 for loop와는 근본적으로 다르다. 문법은 while condition \n statements \n end, 총 3줄이며 여기서의 조건은 논리식이다. 조건이 참이면 문들이 실행되고, 그것이 끝나면 루프는 다시 조건을 확인한다. 

빠른 종료도 가능하다. 때때로 for문 또는 while 루프를 중지하는 것이 유용할 수 있다. [1] 일반적으로 if 구조와 함께 중단문을 사용할 수 있다. 루프를 조기에 끊을 수 있다. [2] 프로그램이 일시중지되길 원할 때 pause 명령을 사용하자. 절차를 중단시키고, key가 칠 때 까지 기다린다. 아래는 각각의 예시들이다. 

 

x = 24
while(1)
	x = x - 5
    if x < 0, break, end
 end

 

for n = 3:10
	mesh(magic(n))
    pause
end

 

(6) Animation

매트랩에서 플롯을 애니메이션화하는 두 가지 방법이 있다. [1] 단순 플롯 함수와 함께 루프을 사용한다. 그래프를 반복해서 교체하는 것 뿐인 방법이다. 그림의 척도를 고정하려면, 축 명령을 사용하는 것이 중요하다. [2] 특수 기능인 getframe 혹은 movie를 사용한다. 이렇게 하면 일련의 플롯을 캡처(getframe)한 다음, 재생(movie)할 수 있다. 

 

오 ~~ 움직임

 

# 이건 비디오 파일 저장 코드

clc,clf,clear
v = VideoWriter('testvideo.avi');
open(v);
g=9.81; theta0=45*pi/180; v0=5;
t(1)=0;x=0;y=0;
plot(x,y,'o','MarkerFaceColor','b','MarkerSize',8)
axis([0 3 0 0.8])
M(1)=getframe;
dt=1/128;
for j = 2:1000
t(j)=t(j-1)+dt;
x=v0*cos(theta0)*t(j);
y=v0*sin(theta0)*t(j)-0.5*g*t(j)^2;
plot(x,y,'o','MarkerFaceColor','b','MarkerSize',8)
axis([0 3 0 0.8])
M(j)=getframe;
if y<=0, break, end
end
pause
movie(M,1)
writeVideo(v,M)
close(v)

 

(7) Anonymous & Inline Functions

[1] Anonymous function은 M파일이 필요 없이 만들어진, 단순한 한 줄 함수다. 문법은 fhandle = @ (arg1, arg2, ...) expression이다. [2] Inline function은 기본적으로 [1]과 동일하지만 문법이 다르다. fhandle = inline('expresssion', 'arg1', 'arg2', ...)이다. [1]을 생성 시 작업 공간의 변수 값에 액세스할 수 있지만, [2]는 액세스할 수 없다. 

 

Anonymous function

 

Inline function

Inline function의 특징 : 인자 값을 수정해도, 반영되지 않는다.

 

Anonymous & Inline fuctions : 인자 값을 수정하면, 반영되는 Inline 함수다.

 

(8) Function functions

Function funtions는 입력 인수로 전달되는 다른 함수에서 작동하는 함수다. 입력 인수는 익명 or 인라인 함수의 핸들, or 내장 함수의 이름 or M-file 함수의 이름일 수 있다. 이 함수를 사용하면 보다 동적인 프로그래밍이 가능하다.