수치해석(1) Mathmatical Modeling, Numerical Methods and Problem Solving

 

 

1. A simple Mathematical Model

 

mathmetical model은 formulation(formula) 혹은 equation으로 정의된다. equation은 '모델'이라 하며, 여러 개의 equation도 '모델'이라 불린다. 여러 개의 equation의 경우, system의 model로 정의된다. 즉 모든 것이 system이고, system은 model로 표현된다. 

Mathmatical Model의 공식은 아래와 같다. 종속 변수(Dependent variable)는 시스템의 행동이나 상태를 반영하는 특성이고, 독립 변수(independent variables)는 시스템의 동작을 결정하는 시간 및 공간과 같은 차원을 의미하며, 매개 변수(parameters)는 시스템의 구성 또는 속성을 반영하는 상수를 의미한다. 마지막으로 forcing fuctions는 시스템에 작용하는 외부 영향이다. 

 

 

원서에서도 자주 나오는 번지점프를 예시로 들어보자. 사람의 속도의 공식은 아래와 같다. 각각을 요소들로 나누어보면 그 밑의 표처럼 분류된다. 

 

Dependent variable	v(velocity)
Independenct variable	t(time)
Parameters	m(mass), cd(drag coefficient, 끌림 계수)
Forcing function	g(gravitational acceleration, 중력 가속도)

 

컴퓨터나 계산기를 사용하여 해당 모델을 그래픽으로 나타낼 수 있다. 끌림 계수가 있어 자유 낙하 시 일정한 속력으로 수렴하는 모습을 보인다. 

 

 

 

2. Numerical Modeling

 

앞서 언급한 v(t) 공식을 미분하면, 아래와 같은 미분 방정식을 얻을 수 있다. 

또 다른 접근법으로는, [1] 가속도나 힘을 기준으로 식을 세운다. 즉 F = ma에서 출발한다. [2] 반대 방향의 힘(c_dv²/m)은 빼준다. 속도의 변화는 점퍼에 작용하는 중력에서 항력을 뺀 값으로 결정되기 때문이다. 이 방식으로 접근하여도 미분 방정식을 도출할 수 있다. 

 

 

위의 식은 우리가 예측하고자 하는 변수의 미분변화율(dv/dt)로 표기되어 있으므로 미분 방정식이다. 이에 반해, numerical method는 미분 공식 대신 컴퓨터로 풀 수 있는 방법을 의미한다. 세상에는 정확하게 풀 수 없는 수학적 모델들이 많기 때문에 대부분의 경우, 유일한 대안은 정확한 해에 근사하는 numerical solution을 찾는 것이다. 이 방법에 의하면, 기울기 즉 속도 변화율은 아래와 같이 근사할 수 있다. 

 

 

컴퓨터의 식은 equation (1)이 주어지면, equation (2) 처럼 유한한 차이를 미분 방정식에 대입한 식으로 볼 수 있다. 결론적으로 equation (3)을 컴퓨터가 푼다. 아 물론, 사람은 미분공식을 미리 알고 있어야 한다. 

 

equation (1)

equation (2)

equation (3)

 

또한 이를 Euler's method라 하며, 이를 2 second intervals yields에 적용하면 다음 그래프가 나온다.